TOPIC:

Sayılar olmadan bilgisayar ve programlama düşünülemez. O yüzden, önceki derslerimizde karakter dizilerini anlatırken şöyle bir değinip geçtiğimiz sayılar konusunu, sayma sistemleri konusunu da ilave ederek, birer programcı adayı olan bizleri yakından ilgilendirdiği için mümkün olduğunca ayrıntılı bir şekilde ele almaya çalışacağız.

Sayılar ve Sayma Sistemleri konusunu iki farklı bölümde inceleyeceğiz.

Sayılar konusunun temelini oluşturduğu için, öncelikle sayma sistemlerinden söz edelim.

Öncelikle ‘sayma sistemi’ kavramını tanımlayarak işe başlayalım. Nedir bu ‘sayma sistemi’ denen şey?

Sayma işleminin hangi ölçütlere göre yapılacağını belirleyen kurallar bütününe sayma sistemi adı verilir.

Dünyada yaygın olarak kullanılan dört farklı sayma sistemi vardır. Bunlar, onlu, sekizli, on altılı ve ikili sayma sistemleridir. Bu dördü arasında en yaygın kullanılan sayma sistemi ise, tabii ki, onlu sistemdir. İnsanların elleri ve ayaklarında on parmak olduğunu düşünürsek, bu sistemin neden daha yaygın kullanıldığını anlamak aslında hiç de zor değil!

Onlu sistemin yaygınlığını düşünerek, sayma sistemleri konusunu anlatmaya onlu sayma sisteminden başlayalım.

Onlu Sayma Sistemi
Biz insanlar genellikle hesap işlemleri için onlu sayma sistemini kullanırız. Hepinizin bildiği gibi bu sistem; 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 olmak üzere toplam on rakamdan oluşur. Yani sayıları gösteren, birbirinden farklı toplam on simge (rakam) vardır bu sistemde. Bu on simgeyi kullanarak, olası bütün sayıları gösterebiliriz.

Bu arada terminoloji ile ilgili ufak bir açıklama yapalım:

Rakamlar, sayıları göstermeye yarayan simgelerdir. Onlu sayma sisteminde toplam on farklı rakam vardır. Bütün rakamlar birer sayıdır, ama bütün sayılar birer rakam değildir. Örneğin 8 hem bir rakam hem de bir sayıdır. Ancak mesela 32 bir sayı olup bu sayı, 3 ve 2 adlı iki farklı rakamın bir araya getirilmesi ile gösterilir. Yani 32 sayısı tek başına bir rakam değildir.

Açıklamamızı da yaptığımıza göre yolumuza devam edebiliriz.

İnsanlar yukarıda bahsettiğimiz bu onlu sisteme ve bu sistemi oluşturan rakamlara/simgelere o kadar alışmıştır ki, çoğu zaman başka bir sistemin varlığından veya var olma olasılığından haberdar bile değildir.

Ama elbette dünya üzerindeki tek sayma sistemi onlu sistem olmadığı gibi, sayıları göstermek için kullanılabilecek rakamlar da yukarıdakilerle sınırlı değildir.

Nihayetinde rakam dediğimiz şeyler insan icadı birtakım simgelerden ibarettir. Elbette doğada ‘2’ veya ‘7’ diye bir şey bulunmaz. Bizim yaygın olarak yukarıdaki şekilde gösterdiğimiz rakamlar Arap rakamlarıdır. Mesela Romalılar yukarıdakiler yerine I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX ve X gibi farklı simgeler kullanıyordu... Neticede 2 ve II aynı kavrama işaret ediyor. Sadece kullanılan simgeler birbirinden farklı, o kadar.

Onlu sayma sisteminde bir sayıyı oluşturan rakamlar 10‘un kuvvetleri olarak hesaplanır. Örneğin 1980 sayısını ele alalım. Bu sayıyı 10‘un kuvvetlerini kullanarak şu şekilde hesaplayabiliriz:

>>> (0 * (10 ** 0)) + (8 * (10 ** 1)) + (9 * (10 ** 2)) + (1 * (10 ** 3))

1980
Gördüğünüz gibi, sayının en sağındaki basamak 10‘un 0. kuvveti olacak şekilde, sola doğru kuvveti artırarak ilerliyoruz.

Gelelim öteki sayma sistemlerine...

Sekizli Sayma Sistemi
Onlu sayma sisteminin aksine sekizli sayma sisteminde toplam sekiz rakam bulunur. Bu rakamlar şunlardır:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Gördüğünüz gibi, onlu sistemde toplam on farklı simge varken, sekizli sistemde toplam sekiz farklı simge var.

Bu bölümün en başında da söylediğimiz gibi, insanlar onlu sayma sistemine ve bu sistemi oluşturan simgelere o kadar alışmıştır ki, çoğu zaman başka bir sistemin varlığından veya var olma olasılığından haberdar bile değildir. Hatta başka sayma sistemlerinden bir vesileyle haberdar olup, bu sistemleri öğrenmeye çalışanlar onlu sayma sistemine olan alışkanlıkları nedeniyle yeni sayma sistemlerini anlamakta dahi zorluk çekebilirler. Bunun birincil nedeni, iyi tanıdıklarını zannettikleri onlu sistemi de aslında o kadar iyi tanımıyor olmalarıdır.

O halde başka sayma sistemlerini daha iyi anlayabilmek için öncelikle yaygın olarak kullandığımız sayma sisteminin nasıl işlediğini anlamaya çalışalım:

Onlu sistemde toplam on farklı simge bulunur:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
9‘dan büyük bir sayıyı göstermek gerektiğinde simge listesinin en başına dönülür ve basamak sayısı bir artırılarak, semboller birleştirilir:

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, ..., 99, 100, ..., 999, 1000
İşte bu kural öteki sayma sistemleri için de geçerlidir. Mesela sekizli sayma sistemini ele alalım.

Dediğimiz gibi, sekizli sistemde toplam sekiz farklı simge bulunur:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Bu sistemde 7‘den büyük bir sayıyı göstermek gerektiğinde, tıpkı onlu sistemde olduğu gibi, simge listesinin en başına dönüyoruz ve basamak sayısını bir artırarak sembolleri birleştiriyoruz:

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 20, ..., 77, 100
Onlu sayma sistemi ile sekizli sayma sistemi arasındaki farkı daha belirgin bir şekilde görebilmek için şu kodları yazalım:

sayı_sistemleri = ["onlu", "sekizli"]

print(("{:^5} "*len(sayı_sistemleri)).format(*sayı_sistemleri))

for i in range(17):
print("{0:^5} {0:^5o}".format(i))
Bu kodlarda öğrenmediğimiz ve anlayamayacağımız hiçbir şey yok. Bu kodları oluşturan bütün parçaları önceki derslerimizde ayrıntılı olarak incelemiştik.

Bu kodlardan şöyle bir çıktı alacağız:

onlu sekizli
0 0
1 1
2 2
3 3
4 4
5 5
6 6
7 7
8 10
9 11
10 12
11 13
12 14
13 15
14 16
15 17
16 20
Gördüğünüz gibi, onlu sistemde elimizde toplam on farklı simge olduğu için, elimizdeki simgeleri kullanarak 10. sayıya kadar ilerleyebiliyoruz. Bu noktadan sonra simge stoğumuz tükendiği için en başa dönüp bir basamak artırıyoruz ve simgeleri birbiriyle birleştirerek yeni sayılar elde ediyoruz.

Sekizli sistemde ise elimizde yalnızca sekiz farklı simge olduğu için, elimizdeki simgeleri kullanarak ancak 8. sayıya kadar gelebiliyoruz. Öteki sayıları gösterebilmek için bu noktadan sonra başa dönüp bir artırmamız ve simgeleri birbiriyle birleştirerek yeni sayılar elde etmemiz gerekiyor.

Sekizli sayma sisteminde bir sayıyı oluşturan rakamlar 8‘in kuvvetleri olarak hesaplanır. Örneğin sekizli sayma sistemindeki 3674 sayısını ele alalım. Bu sayıyı 8‘in kuvvetlerini kullanarak şu şekilde hesaplayabiliriz:

>>> (4 * (8 ** 0)) + (7 * (8 ** 1)) + (6 * (8 ** 2)) + (3 * (8 ** 3))

1980
Bu hesaplama şeklini onlu sayma sisteminden hatırlıyor olmalısınız. Gördüğünüz gibi, sekizli sistemdeki bir sayının her bir basamağını 8‘in kuvvetleri olarak hesapladığımızda, bu sayının onlu sistemdeki karşılığını elde ediyoruz.